LOGIKA MATEMATIKA

Tugas Matematika

Logika Matematika Pernyataan, Kalimat Terbuka, Pernyataan Kuantor, Ingkaran atau Negasi

PERNYATAAN

Setiap pernyataan adalah kalimat, tetapi tidak semua kalimat merupakan pernyataan. Perhatikan kalimat – kalimat berikut.

• Tangkaplah orang itu!
• Berapa umurmu sekarang?

Kalimat di atas tidak menerangkan sesuatu (bukan kalimat deklaratif), sehingga kalimat – kalimat itu bukan pernyataan.

Kalimat yang dapat digolongkan pernyataan adalah kalimat – kalimat yang menerangkan sesuatu (disebut kalimat deklaratif). Namun perlu diingat bahwa tidak semua kalimat deklaratif itu merupakan pernyataan. Perhatikan kalimat – kalimat deklaratif berikut ini.

• Menara itu tinggi.
• Nasi soto enak.

Kalimat – kalimat di atas dapat benar saja atau salah saja, tetapi bukan relatif (bergantung pada keadaan). Kalimat – kalimat tersebut juga bukan pernyataan.

Pernyataan adalah kalimat yang hanya benar saja atau salah saja, tetapi tidak dapat sekaligus benar dan salah.

LAMBANG DAN NILAI KEBENARAN SUATU PERNYATAAN

• Suatu pernyataan biasanya dilambangkan dengan memakai huruf kecil, seperti a, b, c, d, ..., p, q, r, s, ..., dan seterusnya.
• Sebagai contoh :
• Pernyataan “4 adalah bilangan genap” dapat dilambangkan dengan memakai huruf p. (Ditulis p: 4 adalah bilangan genap.)
• Pernyataan “Besi adalah benda padat” dapat dilambangkan dengan huruf q. (Ditulis q: Besi adalah benda padat.)
• Benar atau salah dari suatu pernyataan dapat ditentukan memakai dasar empiris dan dasar tak empiris.
• Dasar Empiris, yaitu menentukan benar atau salah dari sebuah pernyataan berdasarkan fakta yang ada atau dijumpai dalam kehidupan sehari – hari. Sebagai contoh:
• “Ibukota Jawa Timur adalah Surabaya”, merupakan pernyataan benar.
• “Air adalah benda padat”, merupakan pernyataan salah.
• Dasar Tak Empiris, yaitu menentukan benar atau salah dari sebuah pernyataan dengan memakai bukti atau perhitungan – perhitungan dalam matematika.
• “Akar persamaan 3x-1 = 5 adalah 2”, merupakan pernyataan benar.
• “Jika x > 1, maka x > 2”, merupakan pernyataan salah.
• Untuk pernyataan yang benar dikatakan mempunyai nilai kebenaran B (benar), sedangkan untuk pernyataan yang salah dikatakan mempunyai nilai kebenaran S (salah). Kata nilai kebenaran dilambangkan dengan memakai huruf Yunani τ (dibaca: tau). Sebagai contoh:
• τ(p) = B dibaca “nilai kebenaran pernyataan p adalah B” atau “pernyataan p mempunyai nilai kebenaran B”.
• q: 10 kurang dari 5, merupakan pernyataan yang salah, ditulis τ(q) = S.

KALIMAT TERBUKA

• Untuk memahami perngertian kalimat terbuka, perhatikan beberapa contoh kalimat berikut.
• 2x+3 = 11
• y-3 < 4
• Itu adalah benda cair.
• Kalimat - kalimat di atas tidak dapat dinyatakan benar atau salah sebelum ditetapkan nilai x, y, dan itu. Kalimat – kalimat yang berciri seperti itu dinamakan kalimat terbuka, sedangkan x, y, dan itu disebut peubah atau variable. Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut.
• Sekarang perhatikan kalimat terbuka “2x + 3 = 11”. Misalkan semesta pembicaraannya adalah himpunan bilangan real R. nilai x Є R pada kalimat terbuka “2x + 3 = 11” dapat diganti sehingga kalimat terbuka itu menjadi sebuah pernyataan. Nilai kebenaran (benar atau salah) pernyataan yang diperoleh bergantung pada nilai x yang digantikan (disubstitusikan). Sebagai contoh:
• Jika x diganti 3, diperoleh “2(3) + 3 = 11”, merupakan pernyataan salah.
• Jika x diganti 4, diperoleh “2(4) + 3 = 11”, merupakan pernyataan benar.
• Nilai pengganti x = 4 mengubah kalimat terbuka “2x + 3 = 11” menjadi pernyataan yang benar. Nilai x = 4 disebut penyelesaian dari kalimat terbuka itu. Himpunan yang anggota – anggotanya merupakan semua penyelesaian dari kalimat terbuka disebut himpunan penyelesaian.
• Berdasarkan uraian tersebut, dapat diambil beberapa kesimpulan sebagai berikut.
• Kalimat terbuka dapat diubah menjadi pernyataan dengan cara mengganti peubah pada himpunan semestanya.
• Penyelesaian kalimat terbuka adalah nilai pengganti pada himpunan semesta yang mengubah kalimat terbuka menjadi pernyataan yang benar.
• Himpunan penyelesaian kalimat terbuka adalah suatu himpunan dengan anggota – anggota merupakan penyelesaian dari kalimat terbuka itu.

LATIHAN

1. Di antara kalimat – kalimat berikut ini, manakah yang merupakan pernyataan? Jika kalimat itu merupakan pernyataan, tentukan pula nilai kebenarannya (benar atau salah).
1. 111 habis dibagi 3.
2. Tutuplah pintu itu.
3. Semua bilangan komposit adalah bilangan genap.
4. 2 adalah bilangan prima.
5. Ada 30 hari dalam satu bulan.
6. Ada bilangan komposit yang merupakan bilangan ganjil.
7. Untuk x = -1, berapakah nilai 2x – 1?
8. Apakah dua garis sejajar tidak berpotongan?
9. Carilah nilai x pada persamaan 2x – 3 = 1.
10. Jika x < 1, maka x < 4.
2. Di antara kalimat – kalimat berikut ini, manakah yang merupakan pernyataan dan manakah yang merupakan kalimat terbuka?
1. x² – x – 2 = 0
2. Nilai mutlak tiap bilangan real bernilai positif atau nol.
3. 3x ≤ -3
4. 101 adalah bilangan prima.
5. 4x² – 2 = 2
6. 4 – 6 = 7 – 5
3. Diberikan kalimat terbuka 3 – 4x = -9 dengan x peubah pada bilangan real R. Carilah nilai pengganti x sehingga kalimat terbuka itu menjadi pernyataan yang bernilai:
1. Benar
2. Salah
4. Carilah himpunan penyelesaian setiap kalimat terbuka berikut jika x adalah peubah pada bilangan bulat.
1. 7x – 2 = 19
2. 3x – 2 = 10 – x
3. x² – 4x – 12 = 0
4. 2x² – x – 1 = 0
5. Carilah himpunan penyelesaian setiap kalimat terbuka berikut, jika x dan y adalah peubah pada bilangan asli.
1. 3x + y = 9
2. x + y ≤ 9
3. x² + y² = 25
4. x – y < 5

INGKARAN ATAU NEGASI

• Dari sebuah pernyataan, dapat dibentuk pernyataan baru dengan membubuhkan kata tidak benar di depan pernyataan semula atau bila memungkinkan dengan menyisipkan kata tidak atau bukan dalam pernyataan semula. Pernyataan baru yang diperoleh dengan cara seperti itu disebut ingkaran atau negasi.
• Jika p adalah pernyataan yang diketahui, maka ingkaran atau negasi dari p dapat ditulis dengan memakai lambang ~p dibaca: tidak benar p atau bukan p.
• Nilai kebenaran dari ingkaran sebuah pernyataan dapat ditentukan melalui pengamatan pada contoh berikut ini.
• Hubungan nilai kebenaran antara ingkaran sebuah pernyataan dengan pernyataan semula dapat ditentukan sebagai berikut.
• Jika p adalah pernyataan yang bernilai benar, maka ~p bernilai salah.
• Jika p adalah pernyataan yang bernilai salah, maka ~p bernilai benar.
• Dengan menggunakan lambang nilai kebenaran, tabel di atas dapat ditulis sebagai berikut.
• Jika τ(p) = B, maka τ(~p) = S dan jika τ(p) = S, maka τ(~p) = B
• Contoh 1:
• p : Hari ini hujan.
• ~p : Hari ini tidak hujan.
• Contoh 2:
• p : Ada bilangan genap yang habis dibagi empat.
• ~p : Semua bilangan genap tidak habis dibagi empat.
• Contoh 3:
• p : Beberapa siswa tidak mengerjakan tugas.
• ~p : Semua siswa mengerjakan tugas.
• Contoh 4:
• p : Semua bilangan ganjil tidak habis dibagi dua.
• ~p : Ada bilangan ganjil habis dibagi dua.

Latihan (Tentukan negasi dari pernyataan berikut)

1. Hari ini ulangan matematika.
2. 132 tidak habis dibagi tiga.
3. Ada bilangan prima yang habis dibagi dua.
4. Semua binatang berkaki lima adalah bukan mamalia.
5. Ada guru SMA Negeri 1 Purworejo yang belum menikah.

Hubungan Antara Ingkaran Pernyataan dengan Komplemen Himpunan

• Ketentuan tersebut dapat dituliskan dengan memakai lambang himpunan sebagai berikut.
• P = {x | p(x)}, p benar jika x Є P
• P‘= {x | ~p(x)}, ~p benar jika x Є P‘

PERNYATAAN KUANTOR

• Umum
• Khusus  

Latihan

1. Ada menteri wanita pada Kabinet Indonesia Bersatu.
2. Beberapa gunung di Jawa Tengah masih aktif.
3. Ada orang yang umurnya 200 tahun dan masih hidup.
4. Beberapa bilangan genap habis dibagi 5.
5. Semua gubernur di Indonesia laki – laki.
6. Setiap pulau di Indonesia ada manusia yang menghuni.
7. Semua bilangan ganjil habis dibagi 3.
8. Setiap bilangan prima merupakan bilangan ganjil.
9. Ada bilangan genap yang tidak habis dibagi empat.
10. Semua bilangan genap habis dibagi dua.